O termo propriedade tem o significado de alguma coisa que lhe é característica, e é fundamental no aprendizado da álgebra.

Utilizando o conceito das propriedades matemáticas, usadas nas operações, afirmamos que:

I. Toda operação é definida para dois elementos, mas se ela for associativa então, pode ser realizada com mais elementos sem a necessidade de prioridades.

II. Toda operação deve ser resolvida da esquerda para direita, mas se ela for comutativa então, pode ser realizada em qualquer ordem.

III. O elemento neutro é aquele que não muda o resultado da operação, em qualquer ordem que esta seja realizada.

 Podemos afirmar que as propriedades existentes ao operarmos em um conjunto B = Z x Z, seguindo a lei de formação: (a, b)  ❋  (c,  d)  =  (a.c,  b  +  d), onde a, b, c e d são os elementos a serem operados, são:

Uma lei de composição interna e operação têm conceitos diferentes, mas ambas são aplicações (ou funções).

O domínio de ambas é um produto cartesiano de dois conjuntos ou um subconjunto dele, pois precisamos de um par de elementos para agir sobre eles e transformá-los em um terceiro elemento.

Verificamos que toda operação é uma lei de composição interna, mas nem toda lei de composição interna é uma operação interna.

Uma aplicação f:  A x A  →  A  é dita  operação,  ou, lei composição interna,  sobre  A  ou  em  A,  se:

∀ x,  y  ∈  A, x ❋  y ∈ A

Assim: f (x,  y)  =  x  ❋ y, ∀  (x,  y) ∈ A x A. 

Analisando a relação IN x IN  → Z,  definida pela lei f(x, y) = x – y podemos afirmar que:

O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as afirmativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras: 

(  ) . Se  a ≡ b (mód. m) e  c ≡ d (mód. m), então (a / c) ≡ ( b / d) (mód. m). 

(  ) . Se a ≡ b (mod m), então d ≡ b (mod m). 

(  ) . Se a ≡ b (mód. m) e c ≡ d (mód. m), então (a - c) ≡ (b - d) (mód. m). 

(  ) . Dois inteiros quaisquer são sempre congruentes, se, e somente se a e b dão o mesmo resto na divisão euclidiana por m.  

(  ) . Se  a . c ≡ b . c (mód. m) e  mdc ( c, m) = d > 0,  então a ≡ b  (mód. m/ d). 

Assinale a alternativa correta. 

Sabemos que a congruência está diretamente ligada a divisibilidade, porém no conjunto dos números inteiros. Outro fator importante a ser considerado, é que em uma divisão não temos restos negativos.

Nesse sentido, analise as sentenças a seguir, classificando-as em verdadeiras ou falsas:

(  ) - 72  ≡  62 (mod. 15)

(  ) - 450  ≡ 302 (mod. 5)

(  )  400 ≡  208 (mod. 6)

(  ) - 153  ≡ 226 (mod. 7)

(  )  426  ≡  602 (mod. 2)

É correto, o que se afirma na sequência:

Um conjunto de m inteiros, m > 0 forma um sistema completo de restos módulo m, se dois quaisquer desses números, diferentes entre si, não são congruentes módulo m. Exemplo:

Classe de congruência módulo 3

 Os elementos da classe 0 são da forma 3k

 Os elementos da classe 1 são da forma 3k+1

 Os elementos da classe 2 são da forma 3k+2

Sendo o conjunto formado por tais elementos considerado um sistema completo de restos. Portanto, quantas classes de congruência é possível construir quando m for igual a 12?

Uma equação diofantina linear  tem solução se o m.d.c. (a, b) for divisor de c. Caso contrário não existe solução em Z.

Sendo assim, qual das equações abaixo tem solução em Z:

Analisando o seu conhecimento referente ao capítulo de estruturas algébricas, identificando e reconhecendo, a partir de definições e da lei que define cada operação ou a tábua que as representam, tendo uma visão mais ampla da álgebra em nossa formação acadêmica e profissional, podemos perceber que:

- Ao estudar o capítulo de estruturas algébricas, identificamos e reconhecemos a partir de definições e da lei que define cada operação ou a tábua que a representa, as propriedades referentes a cada uma das situações nas quais definirão a estrutura a que pertencerão, tendo uma visão mais ampla da álgebra em nossa formação acadêmica e profissional.

Mediante esse aprendizado, indique a alternativa que indica  à estrutura algébrica: ANEL UNITÁRIO.

Operação significa: ação de um poder, de uma faculdade, de um agente que produz um efeito. Em Matemática temos as operações usuais: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e muitas outras, que são aplicações realizadas sobre um conjunto E, não vazio, f: E x E em E, ou seja, encontramos resultados onde os elementos pertencem ao próprio conjunto ou às vezes não. Logo toda aplicação entre os números é possível. Então na situação da subtração em Z* uma operação que corresponde a todo par ordenado (a, b), cuja diferença é uma função definida dentro do conjunto Z*, obtendo resultado, somente, em Z*, podemos dizer que:

O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as afirmativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras e assinale a alternativa correta:

(  ) . Se  a ≡ b (mód. m) e  c ≡ d (mód. m), então (a + c) ≡ ( b + d) (mód. m). 

(  ) . Se a ≡ b (mod m), então a.d ≡ b.d (mod m). 

(  ) . Se a ≡ b (mód. m) e c ≡ d (mód. m), então (a - c) ≡ (b.d) (mód. m). 

(  ) . Dois inteiros quaisquer são sempre congruentes, se, e somente se a e b dão o mesmo resto na divisão euclidiana por m.  

(  ) . Se  a.c ≡ b.c (mód. m) e  mdc ( c, m) = d > 0,  então a ≡ b  (mód. m/ a).